Non mi sorprende che Schulz abbia letto quel libro – mi lascia invece a bocca aperta la semplicità con cui è riuscito a mettere questo numero in un fumetto.

Eppure la differenza è notevole: ”un milione di secondi” significa circa undici giorni, mentre “un miliardo di secondi” significa circa trentatre anni.¹

Se ci penso, rimango un attimo senza fiato.

1. Paolo, in un commento al blog di .mau..

Il calcolo è corretto. E pare che rimanga tale sostituendo a ogni lettera una cifra. In cinque maniere diverse.

A rifletterci un attimo, la cosa è ovvia.
Prendiamo il primo esempio, quello che mi ha fatto scoprire questa curiosa (e temo assolutamente inutile) legge. , quindi .

È interessante notare che, prima che mi avventurassi in questa pseudo dimostrazione, il risultato aveva qualcosa di magico e misterioso, caratteristiche che ha perso dopo la ricerca, guadagnandone però in fascino.

Quando è nata e si è imposta questa espressione?

Un piccolo risparmiatore chiama la propria banca per avere informazioni sull’andamento dei propri investimenti dopo i recenti crolli in borsa.
La banca lo rassicura: prima del crollo, egli aveva investito in azioni il 99% dei suoi averi; dopo il crollo, il valore di queste azioni è sceso al 98% del suo capitale. Il piccolo risparmiatore si complimenta con la banca per averlo consigliato così bene.
Posto 100 il capitale del piccolo risparmiatore prima del crollo, a quanto ammontano adesso i suoi risparmi?

La soluzione lascia interdetti.

Il governo italiano ha deciso di portare l’i.v.a. sugli abbonamenti alla tv via satellite, in pratica a Sky, dal 10% al 20%.¹
Leggo su Metro la seguente dichiarazione di Sky: «dal primo gennaio ogni cliente avrà un aumento del 10% delle imposte di abbonamento».

I conti non tornano.
Se con “imposte di abbonamento” intendono l’i.v.a., l’aumento è del 100% (l’i.v.a. raddoppia).
Se intendono il costo totale dell’abbonamento, l’aumento dovuto alla nuova aliquota non è del 10%, ma leggermente meno, circa il 9,1%.²  Se adesso pago 100 € (inclusa l’i.v.a. al 10%) significa che pago circa 90,9 € di abbonamento e 9,1 € di i.v.a., che con il raddoppio dell’imposta diventano 18,2 €, portando l’abbonamento a 109,1 €, non 110 € come minaccia Sky.
Immagino si tratti di un banale errore di calcolo dovuto alla non familiarità con le percentuali, perché quello 0,8% di aumento ingiustificato, su 4,7 milioni di abbonati, può diventare una cifra molto interessante: se il costo medio di un abbonamento è 50 €, Sky si intasca quasi due milioni €.

1. Sia detto per inciso: ha anche limitato gli sgravi per chi riduce il costo energetico dell’abitazione, introducendo la curiosa prassi del “silenzio-dissenso“; il fatto che questa operazione  non abbia scatenato nessuna polemica paragonabile a quelle sulla decisione su Sky la dice lunga sulle priorità degli italiani.
2. 9,(09)%, per la precisione.

Dal momento che 2 non è uguale a 1, c’è un errore.
Quale? Semplice: dal momento che a e b sono uguali, a-b è uguale a 0, e non è possibile dividere per zero, come viene fatto nel terzultimo passaggio.

(via non fatti, ma artefatti)

Questo numero è circa 10¹²⁰, un 1 seguito da centoventi zeri.

La cosa interessante è che nell’universo osservabile si stimano esserci stimato tra 10⁷⁹ e 10⁸⁵ particelle elementari. In altre parole, per ogni particella elementare nell’universo osservabile ci sono almeno 10³⁵ possibili partite di scacchi.
Io la interpreto come una straordinaria vittoria degli oggetti sociali sugli oggetti fisici (certo, non c’è il tempo per giocare queste 10¹²⁰ partite di scacchi: una piccola, ma importante, ritorsione del mondo fisico).

Via giowind.

Mi ricordo ancora quando, alle scuole elementari, la maestra ci spiegò come capire se un numero è divisibile per 2: se l’ultima cifra è pari, ossia se è 0, 2, 4, 6 oppure 8, il numero è divisibile, altrimenti no.
Mi era subito sembrata una regola ovvia: sommando in continuazione due posso ottenere, per le decine, le centinaia e così via, tutte le cifre che voglio, quindi posso tranquillamente ignorare tutte le cifre del numero tranne l’ultima.
Anche la divisibilità per 5 non mi sembrò difficile da comprendere: se l’ultima cifra è 0 oppure 5 il numero è divisibile, altrimenti no.
Poi la maestra ci spiegò come stabilire se un numero è divisibile per 3. Un numero è divisibile per 3 se lo è anche la somma di tutte le sue cifre.

Per funzionare, funziona: 567 (= 189×3) è divisibile per 3 e 5+6+7 = 18; 13705 non è divisibile per tre (13705 : 3 = 4568 con il resto di 1) e infatti 1+3+7+0+5 = 16.
Il problema è che a me tutto questo suonava misterioso e quasi magico.
Mi ricordo che immaginai la seguente scena. Un gruppo di matematici, tutti con una lunga barba bianca e lo sguardo spiritato, seduti intorno a un tavolo cercano una regola per la divisibilità per 3. Uno, quasi scherzando, dice «proviamo a sommare le cifre». Gli altri scoppiano a ridere e, per prendere in giro il collega, provano davvero a sommare le cifre di alcuni numeri, e scoprono che, dannazione, funziona! Provano con vari numeri e alla fine, dopo una giornata a fare somme, si arrendono: la regola è valida.

Non penso di aver esposto le mie perplessità alla maestra, che d’altra parte non riesco a immaginare cosa avrebbe potuto rispondermi.
Avrebbe potuto ricorrere al dogma: è così e basta, non fare domande. Oppure avrebbe potuto confondermi ancora di più le idee spiegandomi, ad esempio, la regola per capire se un numero è divisibile per 11: occorre vedere se la differenza tra la somma delle cifre pari e quella delle cifre dispari è un multiplo di 11 (16137 è divisibile per 11: (1+1+7)-(6+3) = 0). A questo punto non avrei più fatto domande.

Proseguendo gli studi non ho mai incontrato nessuno che mi fornisse una dimostrazione di questa cosa curiosa della divisibilità per 3, lasciandomi nel mistero più assoluto e, soprattutto, lasciandomi il dubbio che la scena immaginata anni prima non fosse poi così lontana dalla realtà: non si sa bene perché, ma funziona, e una regola che funziona ce la teniamo ben stretta!

Finalmente ho scoperto la verità. Se vi interessa, continuate a leggere.

Classi di resto modulo n

I filosofi amano ripetere che i matematici non inventano nulla, ma scoprono tutto. L’esempio preferito per confermare questa tesi è il Teorema di Pitagora. Basta però sfogliare altre pagine dei manuali di matematica per incontrare cose che anche il più platonico di filosofi faticherebbe a definire scoperte: le classi di resto modulo n sono, secondo me, tra queste (infatti si legge che la matematica modulare venne introdotta, a livello formale, da Gauss, mentre Pitagora ebbe la fortuna di scoprire l’omonimo teorema, ammesso che lo abbia poi davvero scoperto lui).

Prendiamo tutti i numeri (e quando scrivo tutti intendo proprio tutti i numeri) che divisi, ad esempio, per 3 danno resto 1. Chiamiamo questo insieme spropositato, che conterrà tra gli altri i numeri 1, 4, 7, 10, 13, 16 e così via, classe di resto 1 modulo 3, per gli amici [1]₃.
È ovvio che [1]₃ = [4]₃ = [16]₃, dal momento che 1 diviso 3 ha lo stesso resto di 4 diviso 3 e di 16 diviso 3. Viceversa, [1]₃ ≠ [2]₃.

Adesso accadono due cose curiose.
Innanzitutto, omettendo per praticità quel fastidioso 3 miniaturizzato, [1]+[2] = [1+2] e [1]x[2] = [1x2].
La classe della somma di due numeri è uguale alla somma delle loro classi, e lo stesso vale per la moltiplicazione.

Inoltre, se, come nel nostro caso, [1] = [16] e [2] = [32], allora [1+2] = [16+32] e [1x2] = [16x32].
In poche parole, la classe alla quale appartiene la somma o della moltiplicazione di due numeri non cambia se sostituisco i due numeri con dei loro equivalenti. Il resto della divisione per 3 di 1×2 è uguale al resto di 16×32 o di 14587×2285.
Detto in parole ancora più semplici: io posso sostituire il numero tra parentesi quadre con quello più comodo per i miei calcoli, purché appartenga alla stessa classe.

La prova

Prendiamo un numero qualsiasi, diciamo 9423.
Per sapere se questo numero è divisibile per 3 mi scoprire se il suo resto è 0, ossia se [9423]=[0].

9423 è uguale a 9000+400+20+3, cioè (9x10x10x10)+(4x10x10)+(2×10)+3.
Quindi [9423] = [9]x[10]x[10]x[10]+[4]x[10]x[10]+[2]x[10]+[3].
Essendo [10]=[1], per la divisibilità per 3 posso ignorare tutti quei [10], che equivalgono a [1] e moltiplicare per 1 non è mai servito a molto:
[9]x[10]x[10]x[10]+[4]x[10]x[10]+[2]x[10]+[3].
[9423] è quindi uguale a [9]+[4]+[2]+[3] = [18] = [10]+[8] = [1]+[8] = [9] = [0].

Beta: È l’arte di dimostrare l’ovvio.

Alpha: Mi stai dicendo che la matematica è ovvia?

Beta: Assolutamente no: la matematica è tutt’altro che ovvia.

Alpha: Non ti stai contraddicendo?

Beta: No: la matematica non è ovvia, appunto perché dimostra l’ovvio. Tutti sono buoni a cercare dimostrazioni di cose non chiare. Solo un matematico si sente in dovere di dimostrare anche quello che è chiaro e intuitivo.

Physics is to mathematics as sex is to masturbation.
Richard Feynman

Masturbation is to sex as philosophy is to reality.
Karl Marx

La fisica sta alla matematica come il sesso alla masturbazione.
Richard Feynman

La masturbazione sta al sesso come la filosofia alla realtà
Karl Marx

Un filosofo appassionato di matematica, evidentemente, si masturba sia con la mano destra che con quella sinistra…

Fonte delle citazioni: Wikiquote

Io resto interamente appagato: e mi credano certo che se io avessi a ricominciare i miei studii, vorrei seguire il consiglio di Platone e cominciarmi dalle matematiche, le quali veggo che procedono molto scrupolosamente, né vogliono ammetter per sicuro fuor che quello che concludentemente dimostrano.

Per Simplicio le matematiche sono scrupolose e ammettono per sicuro solo quello che dimostrano.
Dopo aver letto svariate reazioni alla Relazione al Parlamento sullo stato di attuazione della legge in materia di procreazione medicalmente assistita, relazione ricca di dati numeri e statistiche, non si può che trarre una semplice conclusione: Simplicio era un illuso.

L’universo è forse scritto nel linguaggio della matematica, ma evidentemente questo non vale per la politica.
Tralasciando i titoli ad effetto dei giornali (bisogna capirli, fanno il loro lavoro: vendere pubblicità), le statistiche diventano “un brutto esempio di lettura ideologica della realtà” (Movimento per la vita), e altrove ho letto il ministro Turco avrebbe gravi lacune matematiche. In realtà simili discorso si possono fare appunto perché sono in molti a ritrovarsi nella situazione di Simplicio: affascinati dalla matematica ma ignoranti in materia e annoiati da numeri e percentuali. E allora si può dire quello che si vuole, sicuri che quasi nessuno andrà a leggersi le noiose 101 pagine della relazione.